ROZDZIAŁ DEFINICJE

Definicja przez abstrakcję

Każda definicja przez abstrakcję jest definicją równościową, a dokładniej mówiąc, jest definicją kontekstową.

-

Wyrażeniem definiowanym jest w niej zawsze funktor denotujący określoną funkcję jednoargumentową.

-

W definiensie definicji przez abstrakcję występuje zawsze dwuargumentowy predykat denotujący relację równościową w określonym zbiorze, a więc relację w zbiorze tym jednocześnie zwrotną, symetryczną i przechodnią.

-

Funkcja denotowana przez definiowany funktor przyporządkowuje różnym obiektom tę samą wartość - co właśnie stwierdza się w definiendum owej definicji

-

- wtedy tylko, gdy między tymi obiektami zachodzi relacja denotowana przez predykat, występujący w definiensie owej definicji.

Błąd nieadekwatności

Błąd nieadekwatności jest to błąd którym mogą być dotknięte tylko definicje sprawozdawcze.

-

Definicja sprawozdawcza winna należycie zdawać sprawę ze znaczenia, jakie ma w danym języku definiowane w niej wyrażenie, czyli winna być definicją adekwatną.

-

Jeżeli nienależycie informuje o znaczeniu definiowanego w niej wyrażenia, to obarczona jest błędem nieadekwatności.

-

Nieadekwatność definicji sprawozdawczej przejawia się na kilka sposobów. Omówimy tu trzy z nich.

-

Po pierwsze definicja sprawozdawcza jest nieadekwatna, gdy jest definicją za szeroką.

-

Przypuśćmy, że podano następującą definicję n-argumentowego predykatu "P" sprawozdawczą w danym języku: P(x1,..., xn) <=> R(x1,..., xn).

-

otóż definicja ta jest za szeroka, jeżeli tezą tego języka jest zdanie (...) ale nie jest tezą tego języka zdanie (...)

-

Po drugie definicja sprawozdawcza jest nieadekwatna, gdy jest definicją za wąską.

-

Podana wyżej definicja predykatu "P jest za wąska, jeżeli tezą rzeczonego języka jest zdanie (...) ale nie jest tezą tego języka zdanie (...)

-

Po trzecie, definicja sprawozdawcza jest nieadekwatna, gdy jest definicją krzyżującą.

-

Podana wyżej definicja predykatu "P" jest krzyżująca, jeżeli nie jest tezą rzeczonego języka zdanie (...) ani nie jest jego tezą zdanie (...) ale jest tezą jest zdanie (...)

Definicje indukcyjne

Definicje indukcyjne stanowią odmianę definicji nierównościowych.

-

Definicje indukcyjne nazywa się również definicjami rekurencyjnymi.

-

Każda definicja zbudowana jest z dwóch części, a mianowicie z warunku wstępnego i warunku indukcyjnego.

-

W zdaniu stanowiącym warunek wstępny podaje się najprostszy kontekst, w którym występuje wyrażenie definiowane.

-

Z kolei w zdaniu stanowiącym warunek indukcyjny zawarta jest zasada przekształcania bardziej złożonych kontekstów zawierających wyrażenia definiowane w konteksty prostsze.

-

Przykładem definicji indukcyjnej jest na przykład następująca definicja dodawania 1) x+0 = x, 2) x + następnik (y) = następnik (x+y)