Logika definicje rozdz. IV

Dziedzina relacji R

Zbiór wszystkich tych obiektów, które pozostają w relacji R do pewnych obiektów.

Przeciwdziedzina relacji R

Zbiór wszystkich tych obiektów, do których pewne obiekty pozostają w relacji R.

Pole relacji R

Suma dziedziny i przeciwdziedziny relacji R.

Relacja jest zwrotna

gdy każdy obiekt pozostaje w niej do samego siebie. (xRx)

Relacja R jest zwrotna w zbiorze Z

gdy każdy element tego zbioru pozostaje w niej do samego siebie. Z≡/\(xRx)

Relacja R jest niezwrotna w zbiorze Z

wtedy, gdy nie jest tak, że każdy element tego zbioru pozostaje w niej do samego siebie. Z≡~/\(xRx)

Relacja R jest przeciwzwrotna w zbiorze Z

wtedy, gdy żaden element tego zbioru nie pozostaje w niej do samego siebie. Z≡/\~(xRx).

Relacja R jest symetryczna w zbiorze Z

wtedy, gdy zachodząc między dwoma dowolnymi elementami x oraz y tego zbioru, zachodzi też między elementem y oraz elementem x. Z≡/\/\(xRy→yRx).

Relacja R jest niesymetryczna w zbiorze Z

wtedy, gdy nie jest tak, że zachodząc między dwoma dowolnymi elementami x oraz y tego zbioru, zachodzi też między elementem y oraz elementem x. Z≡~/\/\(xRy→yRx).

Relacja R jest przeciwsymetryczna w zbiorze Z

wtedy, gdy zachodząc między dwoma dowolnymi elementami x oraz y tego zbioru, nie zachodzi między elementem y oraz elementem x. Z≡/\/\[xRy→~(yRx)].

Relacja R jest przechodnia w zbiorze Z

wtedy, gdy dla wszelkich jego trzech elementów, ilekroć zachodzi ona między pierwszym a drugim z nich i zachodzi między drugim a trzecim z nich, to zachodzi też między pierwszym a trzecim z nich. Z≡/\/\/\(xRy^yRz→xRz).

Relacja R jest nieprzechodnią w zbiorze Z

wtedy, gdy nie jest tak, że ilekroć zachodzi ona między dowolnymi dwoma elementami i zachodzi między tymże drugim a dowolnym trzecim jego elementem, to zachodzi ona też między owym pierwszym a tym trzecim jego elementem. Z≡~/\/\/\(xRy^yRz→xRz)

Relacja R jest przeciwprzechodnia w zbiorze Z

wtedy, gdy dla wszystkich jego trzech elementów, ilekroć zachodzi ona między pierwszym a drugim z nich i zachodzi między drugim a trzecim z nich, to nie zachodzi między pierwszym a trzecim z nich. Z≡/\/\/\[xRy^yRz→~(xRz)].

Relacja R1 jest konwersem relacji R2

wtedy, gdy dla dowolnych dwóch elementów relacja R1 zachodzi między pierwszym a drugim z nich wtedy i tylko wtedy, gdy relacja R2 zachodzi między drugim a pierwszym z nich. ≡/\/\(xR1y≡yR2x).

Relacja R jest spójna w zbiorze Z

wtedy, gdy zachodzi ona między wszelkimi dwoma różnymi jego elementami. ≡/\/\(x=y→xRyvyRx).