1 rozdział

zdanie w sensie logiczny

jest to takie wyrażenie które jest albo prawdziwe albo fałszywe

zmienna zdaniowa

jest to takie wyrażenie za które wolno wstawiać dowolne zdanie. Jako zmiennych zdaniowych używa się małych liter: "p", "q", "r" "s" "t", "p1" itd.

spójnik logiczny (spójnik)

jest to wyrażenie posiadające tą właściwość, że po dołączeniu do niego zdania otrzymuje się nowe zdanie, którego wartość logiczna zależy wyłącznie od wartości logicznej zdania dołączonego.

Spójnik jednoargumentowy

jest to takie wyrażenie, które po dołączeniu do niego jednego zdania jako argumentu daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej – w sposób szczególny – przez wartość logiczną zdania dołączonego.

Zdanie zanegowane

jest to zdanie dołączone do spójnika negacji jako jego argument.

negacja

jest to zdanie powstałe przez zanegowanie określonego zdania.

zdania wzajem sprzeczne

jest to zdanie zanegowane oraz powstała z niego negacja.

spójnik dwuargumentowy

jest to takie wyrażenie, które po dołączeniu do niego dwóch zdań jako argumentów daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej – w szczególny sposób – przez wartości logiczne dołączonych zdań.

czynniki

są to zdania dołączone jako argumenty do spójnika koniunkcji.

koniunkcja

jest to zdanie zbudowane ze spójnika koniunkcji i jego argumentów.

składniki

są to zdania dołączone do spójnika alternatywy jako argumenty.

Poprzednik

pierwszy z argumentów spójnika implikacji.

Następnik

drugi z argumentów spójnika implikacji.

alternatywa

jest to zdanie zbudowane ze spójnika alternatywy i jego argumentów

implikacja

jest to zdanie zbudowane ze spójnika implikacji i jego argumentów.

człony

są to zdania dołączone do spójnika równoważności jako argumenty.

równoważność

jest to zdanie zbudowane ze spójnika równoważności i jego argumentów.

spójnik n-argumentowy

jest to takie wyrażenie które z n-tką zdań jako argumentów daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej - w szczególny sposób - przez wartość logiczną dołączonych zdań.

zdanie proste

jest to takie zdanie w którym nie występuje żaden spójnik.

zdanie złożone

jest to takie zdanie, w którym występuje co najmniej jeden spójnik.

tezy rachunku zdań (schematy tautologiczne rachunku zdań lub (rachunkowozdaniowe) prawa logiki.

są to wyrażenia rachunku zdań, które przy wszelkich wstawieniach za występujące w nich zmienne przekształcają się w zdania prawdziwe.

Wyrażenia rachunku zdań 1

określenie to wyznacza zbiór wszystkich wyrażeń rachunku zdań. Inaczej mówiąc, określenie to wskazuje, jak należy budować wyrażenie, aby było ono wyrażeniem rachunku zdań.

Wyrażenia rachunku zdań 2

1. Każda zmienna zdaniowa jest wyrażeniem rachunku zdań 2. Jeżeli sekwencja postaci A jest wyrażeniem r.zd., to także sekwencja postaci ~(A) jest wyrażeniem r.zd.

Wyrażenia rachunku zdań 3

3. Jeżeli sekwencje postaci A oraz B są wyrażeniami r.zd., to także sekwencje postaci (A) (B), (A) (B), (A ˄ ˅) → (B) oraz (A) ≡ (B) są wyrażeniami r.zd.

formalizacja rachunku zdań

zabieg pozwalający z ogółu wyrażeń rachunku zdań wyróżnić jego tezy. Operacja ta polega na wyborze pewnych tez rachunku zdań jako aksjomatów i podaniu reguł wyprowadzania z jednych tez innych tez.

Aksjomatyzacja rachunku zdań

jest to pierwszy etap formalizacji rachunku zdań. Przeprowadza się go, dobierając określony zestaw tez jako aksjomatów.

Reguła podstawiania

jeżeli wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań, to tezą r.zd. jest też wyrażenie postaci B powstałe z A przez konsekwentne podstawienie za występującą w nim zmienną zdaniową dowolnego wyrażenia r.zd.

Reguła odrywania

jeżeli wyrażenie postaci A→B jest tezą rachunku zdań i wyrażenie A jest tezą rachunku zdań, to także wyrażenie B jest tezą rachunku zdań.

Reguła zastępowania

jeżeli wyrażenie postaci A jest tezą r.zd., to tezą r.zd., jest także wyrażenie postaci B powstałe z A przez zastąpienie występującego w A wyrażenia r.zd. innym wyrażeniem r.zd. odpowiadającym mu na podstawie definicji:

Dowodem wyrażenia W, na gruncie aksjomatów 1, 2 i 3, w oparciu o reguły podstawiania, odrywania i zastępowania

jest ciąg wyrażeń rachunku zdań, taki że każde wyrażenie tego ciągu albo jest jednym z aksjomatów 1-3, albo powstaje z wcześniejszego wyrażenia ciągu przez zastosowanie reguły podstawiania, albo

Dowodem wyrażenia W, na gruncie aksjomatów 1, 2 i 3, w oparciu o reguły podstawiania, odrywania i zastępowania (2)

powstaje z wcześniejszych wyrażeń ciągu przez zastosowanie reguły odrywania, albo powstaje z wcześniejszego wyrażenia ciągu przez zastosowanie reguły zastępowania, a przy tym ostatnim wyrażeniem tego ciągu jest wyrażenie W.

Zabieg konstruowania dowodu danego wyrażenia nazywamy jego

dowodzeniem.

Dowodem wyrażenia W, na gruncie aksjomatów tworzących zbiór A, w oparciu o reguły tworzące zbiór R

jest taki ciąg wyrażeń, że każde wyrażenie tego ciągu albo jest jednym z aksjomatów zbioru A, albo powstaje z wcześniejszych wyrażeń tego ciągu przez zastosowanie którejś z reguł zbioru R, a przy tym ostatnim wyrażeniem tego ciągu jest wyrażenie W.